ευθειοποίηση

Κλασικό πρόβλημα, που προκύπτει από το γεγονός ότι ένα κομμάτι από εύκαμπτο νήμα μπορεί να εφαρμόσει πάνω σε ένα τμήμα καμπύλης (τόξο) και μετά να τεντωθεί, ώστε να εφαρμόσει πάνω σε ένα τμήμα ευθείας. Έτσι μπορεί να εξομοιωθεί, κατά κάποιο τρόπο, το τμήμα της καμπύλης με ένα ευθύγραμμο τμήμα. Το μήκος του συγκεκριμένου ευθύγραμμου τμήματος ως προς μια ορισμένη μονάδα είναι τότε ίσο με το μήκος του τμήματος της καμπύλης ως προς την ίδια μονάδα. Ο όρος ε. ενός τμήματος καμπύλης ενός τόξου, χαρακτηρίζει το γεγονός της κατασκευής ευθύγραμμου τμήματος, που να είναι ισόμηκες με το τόξο. Από την παραπάνω άποψη το πρόβλημα της περιφέρειας του κύκλου είναι το πρώτο γνωστό πρόβλημα του παραπάνω είδους και απασχόλησε ήδη τους αρχαίους Έλληνες. Με αφορμή το πρόβλημα αυτό βρέθηκε ο αριθμός π ο οποίος εκφράζει τον λόγο μιας οποιασδήποτε περιφέρειας κύκλου προς τη διάμετρό του. Ο π, γνωστός και ως αριθμός του Αρχιμήδη, είναι ένας άρρητος αριθμός, μάλιστα και υπερβατικός (δεν είναι δηλαδή ρίζα κάποιας αλγεβρικής εξίσωσης). Στον απειροστικό λογισμό λύνεται το πρόβλημα της ε. για ορισμένες καμπύλες, στις οποίες μπορεί vα αντιστοιχίσουμε μήκος. Αν μια καμπύλη δίνεται αναλυτικά από μια εξίσωση ν (t) = x₁ (t), x₂ (t), x₃ (t), α t β, τότε το μήκος του τόξου της από το σημείο P₀ = (t₀) έως το σημείο P₁ = (t₁), όπου α t₁< t₂ β, με την επιπλέον υπόθεση ότι υπάρχει η παράγωγος (t), για κάθε t από το διάστημα (α,β), είναι συνεχής, και ισχύει  δίνεται από τον τύπο: . Στην ειδική περίπτωση των επίπεδων καμπύλων του παραπάνω είδους ο σχετικός τύπος προκύπτει από τον προηγούμενο, αν παραλείψουμε τον όρο (dx₃/dt)². Στην ειδικότερη περίπτωση, που η καμπύλη δίνεται από ένα τύπο ψ = f (x), α  x  β, ο τύπος απλουστεύεται ακόμα και γίνεται: όπου α x₁ < x₂ β. Ευθειοποίηση της περιφέρειας κύκλου. Στην εφαπτομένη στο σημείο Ρ παίρνουμε τα σημεία Μ, Ν, ώστε να είναι: (PM) =, (PN) = . Στην ευθεία OP παίρνουμε το σημείο Q, ώστε να είναι PQ = OM. Η από το Q παράλληλη της ON τέμνει την εφαπτομένη στο R. Τότε είναι περίπου (PR) = 2πr [δηλαδή το ευθύγραμμο τμήμα PR είναι περίπου το ανάπτυγμα της περιφέρειας O].